Algebra, teorija operatorjev in finančna matematika

Raziskovalni program obsega raziskave na področju algebre in teorije operatorjev, poleg tega pa bomo preučevali tudi uporabe teh dveh znanstvenih disciplin v finančni matematiki. Glavna podpodročja naših raziskav segajo v realno algebraično geometrijo, teorijo grup, teorijo operatorjev na Banachovih prostorih in mrežah, na področju finančne matematike pa se bomo ukvarjali predvsem s stohastično analizo. V realni algebraični geometriji se bomo ukvarjali s pozitivnimi nekomutativnimi funkcijami in matrično konveksnimi množicami. Raziskali bomo tudi uporabe dobljenih rešitev v teoriji kontrolnih sistemov, optimizaciji in kvantni fiziki. V teoriji grup bomo razvijali homološke metode za študij problema Emmy Noether in iskali uporabe v algebraični geometriji in K-teoriji. Hkrati bomo posegli tudi po moderni kombinatorični teoriji grup preko Babaijeve domneve o diametru Cayleyjevih grafov končnih enostavnih grup. V linearni algebri in algebraični geometriji se bomo lotili klasičnih problemov simultane podobnosti teric matrik in raznoterosti komutirajočih teric matrik. Študirali bomo lastnosti operatorjev in enoparametričnih operatorskih polgrup, kjer bomo kot prvi sistematično raziskali lastnosti le-teh v prostorih, ki so posplošitev Banachovih prostorov. V ta namen bomo podrobneje raziskali konvergence in topologije, posebej t.i. neomejene, na urejenostnih prostorih, vektorskih mrežah in Banachovih mrežah. Zanimala nas bo tudi spektralna teorija operatorjev in s tem povezane operatorske neenakosti, kjer se bomo spopadli s 30 let starim odprtim problemom Huijsmansa in de Pagterja. Nadaljevali bomo tudi z razvojem tropskih metod za študij nelinearnih operatorskih probemov. Iskali bomo tudi uporabe naših rezultatov v finančni matematiki, poleg tega pa bomo na tem področju raziskovali slučajne procese, porojene s stohastičnimi parcialnimi diferencialnimi enačbami. Z naraščanjem pomembnosti precizne in nenatančne verjetnosti v praktičnih aplikacijah, npr. na področju statistike in financ, se kaže potreba po podrobnejši raziskavi in razumevanju obstoječih matematičnih modelov nenatančne verjetnosti in po razvoju novih alternativnih modelov. Osredno vlogo pri modeliranju odvisnosti slučajnih spremenljivk tukaj igrajo kopule. Zato bomo raziskovali področje kopul, kvazi-kopul, multivariatnih porazdelitvenih funkcij in z njimi povezanega Sklarovega izreka.

Doseženi rezultati so in bodo pomembni za razvoj matematične znanosti. Ker se bomo ukvarjali s problemi, ki so bili zastavljeni v okviru širše matematične skupnosti, pričakujemo, da bodo njihove rešitve vzbudile pozornost tudi drugje. Rezultati bodo še posebej velikega pomena za razvoj algebre, teorije operatorjev in uporabe v finančni matematiki. Tako bodo novi rezultati razsvetlili strukturo operatorjev in družin operatorjev. Pomembni bodo v študiju problema invariantnih podprostorov, realni algebraični geometriji, abstraktni teoriji grup in polgrup in drugje. Veliko naših rezultatov je v znanstveni srenji že vzbudilo zanimanje, pričakujemo, da bo tako tudi v prihodnje. Intenzivno bomo nadaljevali in poglobili znanstveno sodelovanje v mednarodnem prostoru. Rezultate smo in bomo objavljali v prestižnih znanstvenih revijah, predstavljali na mednarodnih konferencah in vabljenih predavanjih po tujih univerzah.

Najnovejše znanstvene rezultate uspešno prenašamo našim študentom in s tem prispevamo k družbenemu in ekonomskemu razvoju. Naši rezultati tvorijo pomemben del slovenske matematične znanosti, ki je fundamentalna za druga področja znanosti. Raziskovanje na področju finančne matematike bo prispevalo k prenosu znanja študentov popularnega študijskega programa Finančna matematika na Univerzi v Ljubljani. Ta del našega raziskovalnega dela bo imel tudi neposredne uporabe v finančnem sektorju gospodarstva (zavarovalništvo, banke in druge finančne inštitucije). Že sedaj smo zaznali velik odziv v slovenski finančni industriji, Banki Slovenije in drugje.