Topologija in geometrija

Predlagani petletni raziskovalni program se bo osredotočil na nekatere težke probleme moderne topologije in geometrije. Na področju geometrijske topologije bomo obravnavali topologijo Peanovih kontinuumov v ravnini, celičastih preslikav na 4-mnogoterostih in probleme v zvezi s kohomološko dimenzijo kompaktnih metričnih prostorov. Proučevali bomo tudi vprašanja homogenosti in rigidnosti divjih Cantorjevih množic v evklidskih prostorih dimenzij večjih od dve. V algebrajski topologiji bomo raziskovali homotopske avtoekvivalence in CW homotopske tipe, topologijo Liejevih grup in H-prostorov in pomembna odprta vprašanja ekvivariantne topologije. V topologiji mnogoterosti se bomo osredotočili na nekatera odprta vprašanja v zvezi z novimi polinomskimi invariantami vozlov in spletov v dimenziji 3 in Seiberg-Wittenovim invariantami v dimenziji 4. Nameravamo uporabiti tudi nove rezultate teoretične fizike, predvsem teorijo magnetnih polj, za študij vozlov in spletov. Na področju kosoma linearne 3-dimenzionalne topologije bomo nadaljevali študij triangulacij Hakenovih 3-mnogoterosti in nekaterih kombinatornih premikov - npr. Reidemeisterjevih in Pachnerjevih - ki so povezani z nekaterimi globokimi problemi te teorije. V neskončno dimenzionalni topologiji bomo nadaljevali naš zelo uspešni študij Banach-Mazurjevih kompaktov z uporabo novih tehnik, ki smo jih razvili v zadnjih petih letih in jih uporabili pri rešitvi znanega Westovega problema, ter se lotili nekaterih globokih vprašanj geometrijske strukture teh prostorov, ki so zelo zanimivi tudi z vidika konveksne geometrije.

Obravnavani raziskovalni problemi so bili dolgo časa v središču pozornosti številnih vodilnih strokovnjakov iz področja topologije in geometrije v svetu. Uspeh na tem področju je zato naletel na velik interes matematične skupnosti. Program uvaja nove pristope in tehnike na tem področju, zato bo imel močan vpliv na razvoj v svetu. Raziskovalno delo na tem področju bo imelo zelo pozitiven vpliv na nadaljni razvoj slovenske matematične šole, s poudarkom na topologiji in geometriji ter njuni uporabi, kot tudi na njeno vpetost v svetovno raziskovalno mrežo, posebej v okviru Evropske unije. Naša programska skupina je dobro uveljavljena na svojem področju in je že dobila več domačih in tujih priznanj. Naši rezultati so bili objavljeni v odličnih mednarodnih matematičnih revijah in člani naše ekipe so dobili številna povabila za predavanja na pomembnih mednarodnih konferencah in s tem potrdili mednarodno uveljavljenost naše skupine. Beležimo tudi povečanje zanimanja uglednih tujih raziskovalnih institucij za sodelovanje z IMFM, predvsem iz Evropske unije. Že sedaj ima naša programska skupina največje število mednarodnih projektov na področju matematike v Sloveniji. Ocenjujemo, da je sta geometrijska topologija in diferencialna geometrija dve izmed področij temeljnih raziskav, ki imajo velik potencial za afirmacijo v mednarodni znanstveni skupnosti. Poleg tega pa zadnja leta zelo uspešno odkrivamo številne možnosti za uporabo naših raziskav. Npr., naši rezultati iz področja teorije vozlov in spletov imajo pomembno uporabo v kemiji in biologiji, konkretno pri študiju strukture DNA. Pred kratkim smo odkrili tudi novo uporabo teorije vozlov v teoriji magnetnega polja. Poleg tega izvajamo raziskave tudi v fraktalni geometriji, ki ima široko uporabnost.

Raziskovalno delo na temah v okviru tega petletnega programa je imelo zelo pozitiven učinek na intenzivni razvoj podiplomskega izobraževanja v Sloveniji, na vseh univerzah, ki izvajajo doktorski študij matematike. Posebej to velja za izobraževanje sodelavcev naše programske skupine na univerzah v Ljubljani, Mariboru, Novi Gorici in na Primorskem. Pod mentorstvom naših ter uglednih tujih raziskovalcev, ki so sodelovali z našo skupino, so mladi raziskovalci pripravljali doktorske disertacije iz najaktualnejših tem sodobne topologije in geometrije. Poleg tega pa naša skupina intenzivno dela tudi z uporabniki, npr. izvajamo povsem nov in izredno aktualen podiplomski predmet za uporabnike "Topologija v računalništvu" na Fakulteti za računalništvo in informatiko UL, ki je zelo zanimiv tudi za strokovnjake iz drugih področij, predvsem medicine. Algoritme, ki smo jih razvili za generiranje diskretne Morseove funkcije v računski topologiji, se namreč da zelo uspešno uporabiti za študij v radiološki diagnostiki, npr. za CT in scintigrafijo v interni medicini in urologiji. V zvezi s tem tudi aktivno sodelujemo z industrijo, z nekaterimi novimi mladimi in zelo prodornimi domačimi visoko-tehnološkimi podjetji.