Realna algebraična geometrija v matričnih spremenljivkah

V projektu bomo izpeljali nove razrede nekomutativnih Positivstellensätze (= certifikatov pozitivnosti) in raziskali vrzel med pozitivnimi polinomi, in takšnimi, ki so vsote kvadratov.  Že od Gaussa naprej je znano, da lahko pozitivne realne polinome ene spremenljivke zapišemo kot vsote kvadratov dveh realnih polinomov. Podobno so pozitivno semidefinitne kvadratne forme (v poljubno mnogo spremenljivkah) vsote kvadratov linearnih form. Leta 1885 se je Minkovski med zagovorom svojega doktorata sporekel s Hilbertom o tem, ali nekaj podobnega velja tudi za forme višjih stopenj (tj. ali je vsak pozitiven polinom v večih spremenljivkah avtomatično vsota kvadratov polinomov), kar bi predstavljalo skupno posplošitev zgornjih dveh dejstev. Nekaj let pozneje je Hilbert na to vprašanje podal negativen odgovor. Njegov dokaz je povsem nekonstruktiven, prvi ekspliciten primer pozitivnega polinoma, ki ni vsota kvadratov, pa je šele 80 let pozneje, leta 1967, podal Motzkin. Hilbert je hkrati trdil, da je vsak pozitiven polinom v dveh spremenljivkah vsota kvadratov racionalnih funkcij, na podlagi česar je leta 1900 v svojem nagovoru na Mednarodnem matematičnem kongresu v Parizu naslednji problem (pod št. 17) uvrstil med svojih znamenitih 23 problemov: (H17) Ali je vsak pozitiven polinom vsota kvadratov racionalnih funkcij? Pozitiven odgovor je leta 1926 predstavil Artin, ki je za rešitev tega problema razvil teorijo formalno realnih polj, kar pojmujemo kot začetek realne algebraične geometrije (RAG). Realna algebraična geometrija (glej npr. Bochnak, Coste, Roy 1998) je dandanes veja algebraične geometrije, ki preučuje realne algebraične množice, tj. množice realnih rešitev sistemov polinomskih enačb. Stebri RAG so posplošitve zgoraj omenjenega Artinovega izreka - tako imenovani Positivstellensätze: (¿P.Satz?) Ali je za polinoma p in q polinom p pozitiven tam, kjer je q pozitiven? Zanimivi so tudi njim sorodni Nullstellensätze (ali je p enak 0 tam, kjer je q enak 0?). RAG je v zadnjih letih doživela hitro rast, ki jo je spodbudil širok nabor njenih uporab na področjih, kot so statistika, ekonomija in računalništvo (glej npr. Henrion, Korda, Lasserre 2021). Po drugi strani pa se v mnogih problemih pri teoriji krmiljenja linearnih sistemov (Skelton, Iwasaki, Grigoriadis 1997) ter v kvantni fiziki (Navascués, Pironio, Acín 2010) kot spremenljivke pojavljajo matrike, kar nas na naraven način privede do formul, v katerih nastopajo nekomutativni polinomi v matričnih spremenljivkah. Matematična analiza takih problemov je pred kratkim privedla do razvoja nekomutativne RAG. Pogosto so kvalitativne lastnosti problemov v nekomutativnem primeru veliko boljše kot lastnosti v sorodnem komutativnem primeru. V mnogih naravnih primerih zamenjava skalarnih spremenljivk z matričnimi spremenljivkami privede do lepših strukturnih lastnosti. Stebra nekomutativne RAG sta, tako kot v klasičnem primeru, Nullstellensatz in Positivstellensatz. Cilj predlaganega projekta je razviti nove nekomutativne Positivstellensätze ter orodja in tehnike, s katerimi bo mogoče (Δ) določiti in analizirati vrzel med pozitivnimi polinomi in vsotami kvadratov ter različnimi naravnimi razširitvami vsot kvadratov, ki izhajajo iz Positivstellensätze. V projektu se bomo osredotočali na probleme z matričnimi neznankami. Nedavni napredki na področju realne algebraične geometrije in nekomutativne algebre ponujajo vznemirljive nove pristope k tem problemom, vendar nas vedno čakajo številni temeljni izzivi. V predlaganem projektu jih nameravamo premagati z razvojem in uporabo novih algebraičnih, geometrijskih in analitičnih orodij.