Izbrani problemi iz uporabne in računske topologije

Uporabna in računska topologija je novo področje matematike, kjer se globoki rezultati algebraične in geometrijske topologije, ki so zaznamovali zgodovino matematike 20. stoletja, povezujejo s sodobnimi računskimi metodami. To omogoča eksplicitne izračune topoloških količin, ki so bili prej nedosegljivi. Primeri uporabe topologije v robotiki, teoriji kompleksnosti in analizi slik so bili znani že prej, a je šele skoraj sočasno rojstvo vztrajne homologije (Carlsson, Edelsbrunner), topološke kompleksnosti (Farber) in diskretne Morseove teorije (Forman) napovedalo nastanek novega področja matematičnega raziskovanja. Nove metode so bile kmalu uporabljene za reševanje širokega nabora vprašanj v analizi podatkov, senzorskih omrežjih, gibanju robotov, prepoznavanju vzorcev, računalniški grafiki, numeričnih PDE, statističnema rangiranju itn. Naš predlog je zgrajen okoli dveh glavnih vprašanj: (1) Eksplicitne ocene veličin triangulacij mnogoterosti in poliedrov. V večini aplikacij se geometrične objekte najprej triangulira, t.j. razcepi na daljice, trikotnike, tetraedre in njihove višje-dimenzionalne analoge, imenovane simpleksi. Učinkovitost algoritmov, ki analizirajo in obdelujejo triangulirane objekte, so zelo odvisne od velikosti triangulacije. Značilen primer je velik mednarodni interdisciplinarni projekt Blue Brain (https://www.epfl.ch/research/domains/bluebrain/), v katerem je geometrija človeških možganov podana z milijoni izmerjenih točk, dobljenih s podatkovno analizo, ki sloni na statističnih in topoloških metodah. Za topologa so možgani velikansko omrežje s točkami (nevroni) in povezavami (sinapse). Iz teh je mogoče izpeljati večrazsežne geometrične strukture, ki jih tvorijo klike. To so podskupine nevronov, ki so vsi med seboj povezani (glej https://actu.epfl.ch/news/scientists‐discover‐hidden‐patterns‐of‐brain‐activ/). Minimalno velikost triangulacije je težko določiti, ker je vsak prostor mogoče triangulirati na veliko načinov. Pred kratkim smo odkrili, da tip pokritja, ki sta ga leta 2016 vpeljala Karoubi in Weibel, omogoča oceno minimalnega števila točk v triangulacijah. To nam, skupaj s posplošenim Izrekom o spodnji meji (s katerim je Adiprasito leta 2018 kronal skoraj 50 let raziskovalnih naporov), omogoča dobro oceno velikosti triangulacij. Tip pokritja prostora X je minimalno število elementov dobrega pokritja za katerikoli prostor, ki je homotopsko ekvivalenten X. To je homotopska invarianta, ki je tesno povezana z Lusternik-Šnirelmanovo kategorijo in dolžino kohomološkuh produktov. V projektu predlagamo nekaj strategij za določanje tipa pokritja objektov, ki nastopajo v uporabi, vključno z računskimi metodami za prostore, ki so podani kot oblaki točk. (2) Optimalne poti v Riemannovih mnogoterostih. Osrednji problem robotike je načrtovanje gibanja. Za nas je robot katerakoli naprava (sesalnik, dron, robotska roka, itn.) ki se avtonomno giblje na podlagi nekega algoritma. Robot mora pogosto delovati v okolju, ki se spreminja, npr. zaradi premikanja strojev, raznih ovir ali drugih robotov. Pri tem praviloma niso pomembni majhni premiki, temveč le taki, ki spremenijo topologijo delovnega prostora. Zato je Farber vpeljal pojem topološke kompleksnosti kot mero za najmanjše število načrtov gibanja, ki ga robot potrebuje za avtonomno delovanje. Obravnavali bomo kompleksnost načrtovanja gibanja robotov pri nekaterih dodatnih omejitvah glede učinkovitosti (najkrajše poti, najmanjša poraba energije) in sprememb v delovnem prostoru (parametrizirana kompleksnost). V primerih, kjer delovni prostor ni znan v celoti ali je podan le kot oblak točk, bomo razvili tudi ustrezne računske metode.