Generiranje, analiza in katalogizacija simetričnih grafov

Tema predlaganega projekta leži v preseku dveh matematičnih disciplin: teorije grup in teorije grafov. Osredotoča se na pojem simetrije. Dopolnjujejo jo računski vidiki, hkrati pa upošteva razvojne smernice na področju upravljanja podatkov (kot so npr. načela FAIR za znanstvene podatke) ter na področju upravljanja matematičnega znanja. Pojem simetrije ima pomembno vlogo na številnih področjih človekovega delovanja. V matematiki je potreba po simetriji spodbudila nastanek moderne teorije grup, ki jo lahko interpretiramo kot poskus razumeti koncept simetrije v njeni povsem abstraktni obliki. Grupe se pogosto raziskuje v smislu njihove reprezentacije kot simetrijskih grup izbranih matematičnih objektov, kot so npr. grafi. Raziskovanje grup, ki delujejo na grafih, je imelo za rezultat številne pomembne teorije in prelomne rezultate v matematiki (npr. Basse-Serrejeva teorija, klasifikacija končnih enostavnih grup, teorija Hurewitzevih grup ter Riemannovih ploskev, rezultati Gromova o lokalno kompaktnih topoloških grupah, itd.). Pri vseh teh prebojih igrajo ključno vlogo grafi z bogato simetrijo. V diskretni matematiki je enumeracija objektov zelo pomembna naloga. Pomanjkanje praktičnih orodij za konstruiranje seznamov vseh majhnih objektov danega razreda kaže na pomanjkljivo razumevanja teorije. Poskusi sestavljanja katalogov grafov z visoko stopnjo simetrije so se začeli v zgodnjih 1930-ih letih, ko je Foster začel zbirati primere ločno-tranzitivnih grafov valence 3. Njegovo delo, zdaj znano kot Fosterjev cenzus, je bilo več desetletij dragocen vir informacij za raziskovalce v teoriji grafov in teoriji grup. številni legendarni matematiki so sodelovali pri konstrukciji katalogov grafov posebnih simetrijskih tipov, kot npr. William Tutte, Harold Coxeter, John Conway, itd. Vsak napredek našega teoretičnega razumevanja simetričnih grafov, skupaj z naraščajočo močjo računalnikov, spodbudi nov cikel gradnje takšnih katalogov. Obratno, novi katalogi visoko simetričnih grafov spodbujajo nadaljnji razvoj teorije. Tako ni presenetljivo, da so katalogi grafov neprecenljivi in sodijo med najbolj citirane vire s tega področja. Ta projekt predstavlja en tak cikel razumevanja simetrije in njenega utelešenja v teoriji grafov. Po eni strani, želimo zgraditi nove kataloge visoko simetričnih grafov, ki bodo bistveno presegli obstoječe, generirati pa tudi povsem nove. V ta namen bo treba razviti nova orodja in pristope. Trdno verjamemo, da bo zasledovanje glavnega cilja projekta spodbudilo nove raziskovalne smeri na določenih področjih kombinatorike in teorije grup, in tako povečalo splošno razumevanje grafov s predpisanimi tipi simetrij. Dobljeni katalog bomo uporabili za iskanje vzorcev, testiranje obstoječih in postavljanje novih domnev; tako bomo odprli poti za nove relevantne in smiselne teoretične raziskave. Glavni cilj predlaganega projekta lahko torej razumemo ne samo kot končni cilj, ampak tudi kot spodbudo in smernice za splošnejšo raziskavo simetrijskih lastnosti grafov, in simetrije na splošno. Posebej pozorni bomo na način shranjevanja in objavljanja dobljenih podatkovnih nizov. Predvsem načrtujemo razvoj spletne storitve za sestavljanje seznamov, brskanje, shranjevanje, uvoz in izvoz podatkovnih nizov grafov, sledeč vodilnim načelom FAIR za upravljanje znanstvenih podatkov (glej Scientific Data, 3.1, 2016).