Algebra, diskretna matematika, verjetnostni račun in teorija iger

Predlagani raziskovalni program je nadaljevanje raziskovalnega programa P1-0285 2015-2021 in je intra- in inter-disciplinarne narave. Raziskovalne vsebine in cilji so v programu dela raziskovalnega programa opredeljenil v šestih sklopih, in sicer (1) Algebra s kombinatoriko in teorijo grafov, (2) Druga algebraična orodja za študij lastnosti grafov, (3) Hereditarne grafovske lastnosti, (4) Matematični modeli evolucijske dinamike, (5) Verjetnost, (6) Teorija iger. Pri študiju strukturnih lastnosti algebraičnih objektov, na primer permutacijskih grup, so v veliko pomoč kombinatorični prijemi. Po drugi strani mnogi rezultati o strukturnih lastnostih kombinatoričnih objektov, ki dopuščajo določeno mero simetrije, slonijo na rezultatih iz algebre. Tovrstna sinergija kombinatorike in algebre je v samem jedru tega raziskovalnega programa (sklopi (1)-(3)): delovanje grup na grafih, strukturne lastnosti grafov s predpisano stopnjo simetrije, krovni grafi, bloki neprimitivnosti, sodi/lihi avtomorfizmi, presečne gostote, Schurovi kolobarji, Terwilligerjeve algebre, ohranjevalci, itd. Klasifikacija končnih enostavnih grup (CFSG) se je sicer v vseh teh letih izkazala kot izredno močno orodje v tovrstnem raziskovanju, a prav zaradi tega je tudi delno zakrila vsebinsko strukturo obravnavanih problemov. Posledično bomo znotraj P1-0285, kadarkoli bo le mogoče, zasledovali rešitve obravnavanih problemov brez uporabe CFSG. Predlagani program želi prispevati k temu, da UP FAMNIT (katere ustanovitev je eden izmed pomembnih dosezˇkov P1-0285) preraste v Center odlicˇnosti v matematiki, po zgledu nekaterih zˇe obstojecˇih centrov v drzˇavah, primerljivih s Slovenijo. Kot posledica nadaljnje krepitve matematičnih raziskav na Univerzi na Primorskem in obeh partnerskih institucijah (na Univerzi v Novi Gorici in na Inštitutu za matematiko, fiziko in mehaniko) se pričakuje tudi multiplikativni učinek na slovensko znanost in širše nasploh.

Matematika je poleg umetnosti edini univerzalni jezik medčloveške komunikacije, ki je skozi zgodovino prisoten v vseh razvitih civilizacijah. Je temelj naravoslovnih znanosti in je v samem teoretskem jedru računalništva. Abstraktne matematične teorije doživljajo nepričakovano uporabo ne le v fiziki, tehniki, računalnisˇtvu, ampak tudi v nekaterih družboslovnih in biomedicinskih vedah. Zato je vpliv matematike vse večji tudi na tistih področjih zˇivljenja, ki bodo odločilno zaznamovale 21. stoletje, na primer sodobna ekonomija, psihologija, sociologija, medicina, komunikacije, zaščita podatkov, dekodiranje človeškega genoma. Predlagani raziskovalni program je v središču trenutnih trendov raziskav v vseh obravnavanih področnih sklopih. Dobljeni rezultati bodo omogočili boljše razumevanje subtilnih povezav med algebro in kombinatoriko prav v naravnem okolju teorije grafov. Strukturni rezultati o simetričnih objektih so splošnega pomena ne le v matematiki, pač pa v znanosti nasploh; denimo v kemiji in v teoriji elementarnih delcev. V zadnjem času so grafovski modeli postali osrednja paradigma za predstavitev znanja in sklepanje. So v središču raziskav na številnih statističnih, računskih in matematičnih področjih, vključno z bioinformatiko, teorijo komunikacije, kombinatorično optimizacijo, računalniškim vidom, obdelavo signalov, teorijo informacij, teorijo kodiranja, iskanjem informacij in statističnim strojnim učenjem. Glede na trenutno Covid-19 situacijo velja posebej omeniti pomembnost našega raziskovalnega dela v okviru sklopa matematične biologije. Izbruh virusa Sars-CoV-2 in z njim povezane bolezni Covid-19 je jasno pokazal na potrebo po uporabi matematičnih modelov za razumevanje dinamike virusa in za načrtovanje kontrolnih ukrepov za preprečevanje širjenja le tega. Poleg zelo specifičnih matematičnih in statističnih epidemioloških modelov, ki se uporabljajo za kratkoročno predvidevanje dinamike in uspešnosti metod kontrole, pa so ključnega pomena tudi bolj konceptualni matematični modeli, ki nam omogočajo razumevanje vpliva populacijske strukture in interakcij med različnimi sevi virusa in gostitelji na epidemiološko in evolucijsko dinamiko nalezljivih bolezni. Teoretične študije evolucijske dinamike respiratornih okužb v okviru tega programa bodo tako pomembno prispevale k znanosti ne le v Sloveniji, ampak tudi širše. O pomembnosti problemov, ki si jih zastavljamo, pricˇa nasˇa bibliografija iz zadnjega obdobja, odmevnost dosedanjih rezultatov, mnogoteri stiki s tujimi znanstveniki ter obsezˇna bibliografija s tega podrocˇja v svetu nasploh. Tako kot rezultate iz obdobja 2015-2021 bomo tudi rezultate v okviru predlaganega programa objavili v uglednih mednarodnih revijah in predstavili na mednarodnih znanstvenih konferencah. S tem bomo promovirali slovensko matematicˇno sˇolo v algebri, kombinatoriki, teoriji grafov, verjetnostnem racˇunu, matematicˇni biologiji in teoriji iger.

S tem programom Slovenija ohranja stik s svetovnimi trendi v matematiki na tistih področjih, ki jih program pokriva. Obenem pa s teorijo iger v slovenski prostor vključuje sodobne prijeme matematičnega modeliranja na osnovi računalniške simulacije ter laboratorijskega preverjanja. Predvsem je za Slovenijo ta program ključnega pomena zato, ker si je kot izvedljiv cilj zastavil nalogo, da znotraj fakultete UP FAMNIT (ki jo je ustanovila ta programska skupina v letu 2007) in že ima mednarodno veljavo, predvsem zaradi odličnih znanstvenih rezultatov, še naprej v Sloveniji ustvarja kvalitetno, svetovno primerljivo šolo matematike. Člani skupine verjamejo, da je med vsemi načini prenosa znanja najbolj pomembeno posredovanje izkušenj in znanja s starejše generacije na mlade. Zato spodbuja udeležbo študentov pri njihovih projektih - na ta način njihovi projekti dobivajo nov zagon, študenti pa dobijo izkušnje in vpogled v praktične uporabe pridobljenega znanja. Časi družbenih sprememb zahtevajo, da se matematika še bolj dejavno vključi v tehnološki razvoj Slovenije, tako z raziskovanjem kot z izobraževalnimi kurikulumi. Raziskovalni program P1-0285 vsebuje različne elemente uporabne matematike in je zastavljen interdisciplinarno. Znanstveni rezultati raziskav imajo tako široke možnosti za uporabo v različnih visokotehnoloških industrijskih panogah, na primer IT sektor, v ekonomskem, zavarovalnisˇkem in bancˇnem sektorju, vojski in vojaški industriji. V Evropi lahko obstanemo kot razpoznavna entiteta le z ohranitvijo nacionalnega jezika in z visoko izobraženim ljudstvom, ki bo Evropi zmoglo ponuditi kaj izvorno svojega. Zato je zmožnost uporabe različnih komunikacijskih kanalov nujna - in matematika, kot univerzalni jezik, je tu ključnega pomena. Lahko le ponovimo: zaradi zgoraj navedenih razlogov je naš program kakor pisan na kožo utrjevanju nacionalne identitete na zahodnem robu Slovenije. Raziskovalni program P1-0285 bo pomembno prispeval k razvoju družbe tudi s pomembnim prispevkom k nacionalnim ciljem Raziskovalne in inovacijske strategije Slovenije 2021-2030 in ciljem Nacionalnega programa visokega šolstva 2021-2030 (oba dokumenta sta sicer trenutno še v zaključni fazi sprejemanja, vendar člani raziskovalnega programa P1-0285 aktivno sodelujejo pri pripravi). Za konec naj omenimo, da je načrt raziskovalnega dela raziskovalnega programa P1-0285 za novo finančno obdobje usklajen z EU strateškim načrtom 2021-2024, ki ga je sprejela Evropska komisija za program Horizon Europe.