Simetrija na grafih preko rigidnih celic

Pri raziskovanju simetrij v grafih so bile tekom let preučevane različne značilnosti njihovih grup avtomorfizmov. Vzemimo, na primer, dobro znano in še vedno odprto policirkulantno domnevo, ki pravi, da vsak točkovno tranzitiven (di)graf dopušča premikalke (deranžma) praštevilskega reda, to je, avtomorfizem praštevilskega reda, ki nima fiksnih točk. Rezultati, ki so bili dobljeni doslej, nakazujejo, da določene pomembne lastnosti točkovno tranzitivnih grafov izhajajo in se lahko izpeljejo iz takšnih avtomorfizmov. Na drugi skrajnosti pa bi želeli študirati tiste avtomorfizme, ki fiksirajo vsaj eno točko točkovno tranzivnega grafa, torej avtomorfizme, ki pripadajo stabilizatorjem točk. V tem kontekstu se takoj naravno pojavi naslednje vprašanje: Katere ostale dodatne točke bo fiksiral takšen avtomorfizem? Bolj natančno, kakšna je struktura podgrafa, ki ga inducirajo tiste točke, ki jih ta avtomorfizem fiksira? To vprašanje je bistvena vsebina predlaganega projekta. Podgrafe, inducirane z množico vseh fiksnih točk danega avtomorfizma, bomo imenovali rigidni podgrafi, povezano komponento takega podgrafa pa imenujemo rigidna celica. Uporabili bomo mešano strategijo pristopa k problemu simetrije s kombiniranjem grupno-teoretičnih in grafovsko-teoretičnih orodij. Pričakujejo se nova spoznanja o notranji strukturi točkovno tranzitivnih in drugih razredov grafov, ki zadoščajo specifičnim simetrijskim pogojem. Naslednji glavni poudarki raziskave bodo zajeti v okviru tega predloga projekta: Študij strukture rigidnih celic v točkovno tranzitivnih grafih.Študij strukture avtomorfizmov, ki porodijo rigidne celice. Posebej, bo obravnavano naslednje vprašanje: pod kakšnimi pogoji avtomorfizmi istega reda pripadajo istemu konjugiranostnemu razredu v grupi avtomorfizmov?Iskanje kombinatoričnih (grafovsko-teoretičnih) odsevov koncepta realih (krepko realnih) elementov grupe (še posebej glede na konsistentne cikle v grafih), kjer je element grupe realen, če pripada istemu konjugiranostnemu razredu kot njegov obrat, in krepko realen, če je konjugiran svojemu obratu glede na neko involucijo. Končno, v skladu s pogosto izraženo zahtevo matematične skupnosti po omejitvi uporabe Klasifikacije končnih enostavnih grup (CFSG) pri obravnavi problemov algebraične teorije grafov in permutacijskih grup, bomo poskušali poiskati neposredne dokaze nekaterih izrekov iz tega področja, za katerih potrditev je doslej CFSG igrala bistveno vlogo.